2008年 09月 18日 ( 1 )

世界を広げるための発想・思考

世界というものを命題の集まりであると考えたとき、最も基礎的な命題から他の命題が論理的に導かれるという構造になっていたら、つまり公理的体系になっていたら、その世界は全体像の把握が容易に出来るだろう。数学というのはユークリッドの幾何学を第一歩として、そのような公理的体系を作り出して発展してきた。

このような公理的体系は、その全体像の把握が容易ではあるが、そのことは逆にその世界が完結したものであることも示している。それは完結した世界であるから、もはやそれ以上の広がりを持つことはない。まだ定理として真理性が確定していない事柄であっても、それはまだ確定していないだけであって、それの発見によって世界が広がっていくことはない。それはすでに世界の中にあったものだがまだ知られていなかっただけというものになる。そうでなければ全体像の把握というものにならないだろう。

ゲーデルの定理によって、自然数の公理系にはそれが真理であっても証明することの出来ない命題が存在することが証明された。そのような命題は、未知なるものとしてその発見が自然数の世界を広げることにはならないだろうか。これは、ある特定の命題が、いろいろと調べている内に証明不可能であることが発見されたということなら、その知識が世界に新たな特徴を加えてその広がりをもたらすかもしれない。しかしそれは今ある公理系の世界を、全く違う新たな公理系として違う世界を考えることになり、世界の拡張として捉えるかどうかは微妙なものになるだろう。

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by ksyuumei | 2008-09-18 09:47 | 方法論