2007年 06月 21日 ( 1 )

実数の連続性

実数の連続性に関しては、数学的にはデデキントの切断という考えを使うことが多い。これは、その発想が「連続」というイメージによく合うからだろうと思う。これは、直感的に言ってしまえば、実数を大きさの順に一直線に並べたとき、その直線のどの部分を切っても(任意の場所でということ)そこには隙間がない・すなわち実数が存在しているというイメージになる。

もし切断した部分に実数がなかったら、一直線に並べた実数の点は隙間があることになる。そうなれば、そこで切り離された状態になっていたことになるだろう。つまり連続ではないということになる。どこで切っても隙間がないということが連続であるということの確認になるわけだ。これは、無限に多くの点を持っている実数を対象にした場合は、連続性の確認が実無限の把握というものを伴ってくる。これは現実には人間には確認できない事柄になる。

現実の連続性の確認は、誤差を含んだ判断として連続であるか否かを判断することになるだろう。見た目に隙間が見つからないという連続性であれば、人間が目で判断できるもっとも短い幅を持ったナイフで空間を切ったときに隙間があるかどうかという判断になる。その短い幅の間は、視覚によって二つの点を区別することが出来ない限界になっているので、たとえ隙間があったとしても隙間としての判断ができない。つまり、隙間が存在しないということになって、それは連続だということになる。

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by ksyuumei | 2007-06-21 10:01 | 論理